私は日々、税金の仕事をしてるわけなのですが、この時期、1年で一番忙しい！！

それが2月中旬～3月中旬に行う「ザ・確定申告！！」

土日祝も返上で、一か月間休みなしなのです～


なので、ここ最近は更新が遅いです～～



対称式の問題は基本的にやることは変わらないので、とりあえず式を改造しているうちに解けることが多いです。

恒等式の公式や、相加相乗平均があればほとんど解くことができますが、今回は、式の変形だけでできる問題だったので、星は3つ～～



難問中難易度☆☆☆

【問題】
正の実数$ \small a,b,c $が$ \small a+b+c=1 $をみたしているとき
$$ a \sqrt[3]{ 1+b-c } + b \sqrt[3]{ 1+c-a } + c \sqrt[3]{ 1+a-b } \le 1 $$
を示せ。

【証明】
$ \small a+b+c=1 $より、$ \small 0 < a,b,c < 1 $であるから、$ \small -1 < b-c < 1 $なので
\begin{eqnarray*}
&{}& \left( 1 + \frac{ 1 }{ 3 }( b-c ) \right)^{ 3 } - \left( \sqrt[3]{ 1+b-c } \right)^{ 3 } \\
&=& \left( 1 + ( b-c ) + \frac{ 1 }{ 3 }( b-c )^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 27 }( b-c )^{ 3 } \right) + \left( 1 + b - c \right) \\
&=& \frac{ 1 }{ 3 }( b-c )^{ 2 } \left( 1 + \frac{ 1 }{ 9 }( b-c ) \right) \\
& \ge & 0
\end{eqnarray*}
よって
$$ \sqrt[3]{ 1+b-c } \le 1 + \frac{ 1 }{ 3 }( b-c ) $$
等号成立は$ \small b = c $のとき。

他の項についても、同様に言えるので
\begin{eqnarray*}
&{}& a \sqrt[3]{ 1+b-c } + b \sqrt[3]{ 1+c-a } + c \sqrt[3]{ 1+a-b } \\
& \le & a \left( 1 + \frac{ 1 }{ 3 }( b-c ) \right) + b \left( 1 + \frac{ 1 }{ 3 }( c-a ) \right) +c \left( 1 + \frac{ 1 }{ 3 }( a-b ) \right) \\
&=& a+b+c+ \frac{ 1 }{ 3 }( ab - ca + bc - ab + ca - bc ) \\
&=& a+b+c \\
&=& 1
\end{eqnarray*}
となり、題意は示された。
なお、等号成立は$ \displaystyle \small a=b=c=\frac{ 1 }{ 3 } $のときである。