そろそろ、久々の数学オリンピック問題に行きますよ～～

まずは問題！


難問中難易度☆☆☆

【問題】
表裏の区別のある硬貨が$ \small 17 \times 17 $の正方形状にすべてを表を上にして並べられている。
一回の操作で、縦に連続する5枚の硬貨、横に連続する5枚の硬貨、または斜めに連続する5枚の硬貨を同時にひっくり返す。

この操作を何回か繰り返して、すべての硬貨が裏を上にして並んでいる状態にすることはできるか。

結構最近、「こういう問題の基本だよ～～」って紹介した問題がありましたね～

その問題はこちら
「5×6のタイルで敷き詰めるには？」

この問題で、$ \small m \times n $の長方形を$ \small 1 \times 6 $のタイルで埋めるには、$ \small m , n $のどちらかは6の倍数であることが必要十分条件ですよ～って話をしました。

今回は$ \small 17 \times 17 $で5枚の硬貨だから、多分できないと思われます。

ただ、今回は斜めもアリってところ、タイルで埋めるのとは少し趣向が違うってところ、この2点が過去に紹介した問題と違います。

ただし、基本的な解法は同じですね。

では証明！


【証明】
$ \small 17 \times 17 $の硬貨に下図のように番号を振る。

すると、縦、横、斜めに連続する5枚の硬貨はどのように選んでも、すべて$ \small 1,2,3,4,5 $を一つずつ含むことができる。

この数字の個数を数えると、$ \small 1,2,4,5 $の硬貨が58枚ずつあり、$ \small 3 $の硬貨が57枚ある。

また、すべての硬貨が裏になっているという事は、すべての硬貨が奇数回ひっくり返されたという事である。

したがって、$ \small 1,2,4,5 $の58枚の硬貨をすべてひっくり返すには操作を偶数回行わなければならないのに対し、$ \small 3 $の硬貨は57枚なので、すべてひっくり返すには奇数回の操作を行わなければならない。

よって、$ \small 1,2,4,5 $と$ \small 3 $の硬貨がひっくり返される回数は異なってしまい矛盾する。

よって、すべての硬貨が裏になることはないことが示された。